Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Μαθηματικά μοντέλα, Προσεγγιστικές μέθοδοι, Αλγόριθμοι, Σφάλματα, Αναπαράσταση Αριθμών και στρογγυλοποίηση τους]

Στόχοι Ενότητας

Οι φοιτητές θα είναι ικανοί να γνωρίζουν τι είναι μαθηματικό μοντέλο, τι είναι μία προσεγγιστική μέθοδος, τι λύση μπορεί να μας παρέχει σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, τι είναι τα σφάλματα και η ακρίβεια προσεγγιστικών μεθόδων.

Λέξεις Κλειδιά

Σφάλματα, Προσεγγίσεις, Στρογγυλοποίηση

Επίλυση Μη γραμμικών εξισώσεων:

1. Μέθοδοι εγκλεισμού (Διχοτόμηση, Regula Falsi)
2. Newton Raphson και οι παραλλαγές της.]

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα μπορούν να υπολογίζουν προσεγγιστικές λύσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις.

Λέξεις Κλειδιά

Μη γραμμικές Εξισώσεις, Μέθοδοι Εγκλεισμού, Μέθοδος Newton

Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων με άμεσες μεθόδους

1. Βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα.
2. Μέθοδος Απαλοιφής Gauss
3. Παραγοντοποίηση LU
4. Αντιστροφή πινάκων.

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα μπορούν να εφαρμόζουν τη διαδικασία της απαλοιφής του Gauss με ή χωρίς οδήγηση για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Θα μάθουν να παραγοντοποιούν πίνακες με την μέθοδο LU και να υπολογίζουν τη λύση γραμμικών συστημάτων και του αντιστρόφου πίνακα με αυτή.

Λέξεις Κλειδιά

Gauss, Παραγοντοποίηση πινάκων, LU, Αντίστροφος πίνακα  

Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους:

1. Βασικές έννοιες για τα διανύσματα και πίνακες. Νόρμες.
2. Μέθοδος Jacobi
3. Μέθοδος Gauss Seidel
4. Μέθοδος SOR

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι διδαχθούν τις βασικές επαναλητπικές μεθόδους με τις οποίες θα μπορούν να υπολογίζουν προσεγγιστικές λύσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις.

Λέξεις Κλειδιά

Μέθοδος Jacobi, Μέθοδος Gauss-Seidel, Μέθοδος SOR

Προσέγγιση συναρτήσεων με παρεμβολή:

1. Μέθοδος Taylor
2. Πολυώνυμα παρεμβολής Lagrange
3. Τύποι παρεμβολής Newton
4. Παρεμβολή Hermite, Κυβικές Splines, κατά τμήματα πολυωνυμική παρεμβολή

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα μπορούν να διακρίνουν τις έννοιες της παρεμβολής συνάρτησης και της προσέγγισής της και τις διαφορές τους. Θα μπορούν να χρησιμοποιούν το πολυώνυμο Taylor για να προσεγγίσουν τοπικά συναρτήσεις και τα παρμβολικά πολυώνυμα στις διάφορες εκφράσεις τους για να προσεγγίζουν αριθμητικά δεδομένα.

Λέξεις Κλειδιά

Πολυώνυμο Taylor, Παρεμβολή Lagrange, Παρεμβολή Newton, Παρεμβολή Hermite, Παρεμβολή Splines

Αριθμητική Παραγώγιση και Αριθμητική Ολοκλήρωση:

1. Τύποι ολοκλήρωσης Τραπεζίου και Simpson
2. Σύνθετοι τύποι ολοκλήρωσης Τραπεζίου και Simpson
3. Τύποι ολοκλήρωσης Newton Cotes]

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα μπορούν να υπολογίζουν προσεγγιστικές τιμές παραγώγων διαφόρων τάξεων όταν έχουν τις τιμές μίας συνάρτησης σε μία διαμέριση διαστήματος. Θα μπορούν να υπολογίζουν την τιμή της ολοκλήρωσης μίας συνάρτησης σε ένα διάστημα με απλούς ή σύνθετους τύπους Newton Cotes.

Λέξεις Κλειδιά

Αριθμητική παραγώγιση, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Μέθοδοι Newton Cotes, Μέθοδος Τραπεζίου, Μέθοδος Simpson

Προσέγγιση με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

1. Προσέγγιση με Γραμμικό και Τετραγωνικό πολυώνυμο ε.τ.
2. Εκθετική και λογαριθμική συσχέτιση των δεδομένων

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα γνωρίσουν την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και τη χρήση της για την προσέγγιση μίας συνάρτησης. Θα ασχοληθούν αναλυτικά με το γραμμικό μοντέλο αλλά θα εισαχθούν στις έννοιες προσέγγισης με πολυώνυμα μεγαλύτερης τάξης. Θα διερευνήσουν δε πως το γραμμικό μοντέλο μπορεί να προσαρμοστεί για την προσέγγιση δεδομένων με εκθετική ή λογαριθμική συσχέτιση.

Λέξεις Κλειδιά

Ελάχιστα Τετράγωνα, Λογαριθμική, Εκθετική Συσχέτιση

Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων

1. Μέθοδος Euler
2. Μέθοδοι Runge Kutta

Στόχοι Ενότητας

Οι εκπαιδευόμενοι θα γνωρίσουν τι είδους λύση μπορεί να προσφέρει μία αριθμητική μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Οι φοιτητές θα μάθουν να λύνουν προβλήματα διαφορικών εξισώσεων αρχικών τιμών με άμεσες μονοβηματικές μεθόδους απλές όπως η μέθοδος Euler και οι παραλλαγές τους αλλά και πιο σύνθετες όπως οι μέθοδοι Runge Kutta.

Λέξεις Κλειδιά

Πρόβλημα Αρχικών Τιμών, Μέθοδος Euler, Runge Kutta